Логические операции

Логические операции и схемы

 С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

 

Определение логической формулы:

Всякая логическая переменная и символы “истина” (“1”) и “ложь” (“0”) — формулы.

Если А и В — формулы, то , (А • В), (А v В), (А ® B), (А « В) — формулы.

Никаких других формул в алгебре логики нет.

  

В качестве примера рассмотрим высказывание “если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог”. Это высказывание формализуется в виде (A v B) ® C; такая же формула соответствует высказыванию “если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика”.

 

Логический элемент (вентиль) компьютера — это часть электронной логичеcкой схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

   

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, имеет один или несколько входов, на которые подаются сигналы один из двух установленных уровней напряжения (например, +5 вольт и 0 вольт). Высокий уровень обычно соответствует значению “истина” (“1”), а низкий — значению “ложь” (“0”).

 

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

 

Таблица истинности это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

 

Что такое схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ?

Схема И 

Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений.

  Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на рис. 1. Таблица истинности — в таблице 1.

 

Рис.1

 

 

Таблица 1.

 

x

y

x?y

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

 

 

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.

 

Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x?y (читается как "x и y").

Операция конъюнкции на функциональных схемах обозначается знаком “&” (читается как "амперсэнд"), являющимся сокращенной записью английского слова and.

 

Схема ИЛИ

 

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений.

Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также будет единица.

Условное обозначение схемы ИЛИ представлено на рис. 2. Знак “1” на схеме — от устаревшего обозначения дизъюнкции как ">=1" (т.е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1). Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x v y (читается как "x или y"). Таблица истинности — в табл. 2.

 

 

Рис.2

Таблица 2.

 

x

y

x v y

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

 

Схема НЕ

 

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь между входом x этой схемы и выходом z можно записать соотношением z = , где читается как "не x" или "инверсия х".

 Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0. Условное обозначение инвертора — на рисунке 3, а таблица истинности — в табл. 3.

Рис. 3.

 

Таблица 3

 

x

0

1

1

0

 

Импликация

Импликация (логическое следование) - соответствует речевому обороту ЕСЛИ... ТО

Таблица истинности

 

x

y

А®В

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

 

 Эквиваленция

Эквиваленция (равнозначность)

 Таблица истинности

 

x

y

xy

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

 

Comments